Global Dynamics of Delayed Sigmoid Beverton–Holt Equation

<jats:p>In this paper, certain dynamic scenarios for general competitive maps in the plane are presented and applied to some cases of second-order difference equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0,1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo></mml:math>, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> is decreasing in the variable <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> and increasing in the variable <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math>. As a case study, we use the difference equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0,1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo></mml:math>, where the initial conditions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> and the parameters satisfy <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>. In this special case, we characterize completely the global dynamics of this equation by finding the basins of attraction of its equilibria and periodic solutions. We describe the global dynamics as a sequence of global transcritical or period-doubling bifurcations.</jats:p>