Discrete geometry approach to structure-preserving discretization of Port-Hamiltonian systems

Dit proefschrift behandelt de structuurbehoudende discretisatie van open ver-deelde-parameter systemen met gegeneraliseerde Hamiltonse dynamica. Gebruikmakend van het formalisme van discrete uitwendige differentiaalrekening voer ik simpliciale Diracstructuren in als discrete analogieen van de Stokes-Diracstructuur, en laat ik zien hoe zij een natuurlijk kader bieden om eindigdimensionale poort-Hamiltonse systemen af te leiden die hun oneindigdimensionale tegenhangers nabootsen. Het ruimtelijke domein, in de continue theorie weergegeven door een eindigdimensionale gladde varieteit met rand, wordt vervangen door een homologisch simpliciaal complex en zijn circumcentrische duale. De gladde differentiaalvormen worden in de discrete context vervangen door co-ketens op de primaire en duale complexen, terwijl de discrete uitwendige afgeleide wordt gedefinieerd met behulp van de duale randoperator. Deze benadering door middel van de meetkunde van discrete uitwendige differentiaalrekening maakt het mogelijk om, anders dan het discretiseren van de partiele differentiaalvergelijkingen, eerst de onderliggende Stokes-Diracstruc-tuur te discretiseren en daarna de eindigdimensionale poort-Hamiltonse dynamica hierop te definieren. Op deze manier worden een aantal belangrijke intrinsieke topologische en meetkundige eigenschappen van het systeem behouden. Ik pas deze algemene beschouwingen toe op een aantal fysische voorbeelden, waaronder reactie-diffusie systemen, in welk geval de structuurbehoudende discretisatie het standaard compartimentele model oplevert. Vervolgens laat ik zien hoe op een soortgelijke manier een Poissonsymmetrie reductie van Diracstructuren geassocieerd met oneindig- en eindigdimensionale modellen kan worden uitgevoerd.